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</head>

</header>

</div>

<p>Der Begriff <b>Oval</b> (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">ovum</span> ‚Ei‘) bezeichnet eine ebene rundliche <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe</a> Figur, die im weitesten Sinne dem Profil eines <a href="Vogelei" title="Vogelei">Vogeleis</a> ähnelt. Sie umfasst <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreise</a> und <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipsen</a> als Spezialfälle, wobei ein beliebiges Oval im Gegensatz zu diesen keine <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachse</a> besitzen muss.

</p><p>Die Verwendung des Begriffs ist nicht immer einheitlich, gelegentlich wird er auch rein beschreibend verwandt. In der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> lässt er sich jedoch formal mit Hilfe ebener <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurven</a> definieren, in diesem Zusammenhang spricht man dann auch von <b>Eikurven</b> oder <b>Eilinien</b>.

</p><p>Ein dreidimensionaler rundlicher konvexer Körper (allgemeiner auch eine <a href="Abgeschlossene_Menge" title="Abgeschlossene Menge">abgeschlossene</a> konvexe <a href="Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> des <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span>) wird als <b>Ovoid</b> bezeichnet.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> In diesem Sinne ist ein Oval mit seinem Inneren dann ein zweidimensionales Ovoid.

</p><p>In der <a href="Projektive_Geometrie" title="Projektive Geometrie">projektiven Geometrie</a> werden die Begriffe <i>Oval</i> und <i>Ovoid</i> ohne <a href="Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">Differenzierbarkeits</a>- und Konvexitätsbedingungen ausschließlich mit Hilfe von <a href="Inzidenz_(Geometrie)" title="Inzidenz (Geometrie)">Inzidenz</a>bedingungen („Jede Gerade trifft ein <a href="Oval_(Projektive_Geometrie)" title="Oval (Projektive Geometrie)">Oval</a> bzw. <a href="Ovoid_(Projektive_Geometrie)" title="Ovoid (Projektive Geometrie)">Ovoid</a> in höchstens zwei Punkten“) als <a href="Quadratische_Menge" title="Quadratische Menge">quadratische Mengen</a> definiert. Ein Oval, wie es im vorliegenden Artikel erläutert wird, ist im projektiven Abschluss der reellen Ebene stets ein Oval im Sinne der projektiven Definition, falls man zusätzlich verlangt, dass die <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet. Ein solches Oval ist dann der Rand einer <a href="Streng_konvexe_Menge#Spezialfälle" class="mw-redirect" title="Streng konvexe Menge">streng konvexen Menge</a>, d. h., es enthält <i>keine</i> <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a>stücke.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Definition_und_Eigenschaften">Formale Definition und Eigenschaften</h2></div>

<p>Die rundliche Form eines Ovals erhält man, indem man für eine geschlossene Kurve <a href="Glatte_Kurve" title="Glatte Kurve">Glattheit</a> und Konvexität verlangt (s. glattes konvexes Oval im Klassendiagramm). Dies führt dann zu der folgenden Definition:

</p>

<dl><dd>Eine geschlossene zweimal stetig differenzierbare konvexe Kurve in der Ebene heißt <i>Oval</i> (auch <i>Eikurve</i> oder <i>Eilinie</i>).<sup id="cite_ref-eom_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-eom-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-maple_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-maple-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-diffgeo_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-diffgeo-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl>

<p>Diese Definition erfasst jedoch nicht alle geometrischen Figuren, die gelegentlich als Ovale bezeichnet werden. So erfüllen zum Beispiel Ovale, die aus unterschiedlichen Kreisbögen zusammengesetzt sind, diese Definition nicht, da ihre zweite Ableitung nicht auf der gesamten Kurve stetig ist. Möchte man auch solche Fälle erfassen, so muss man Abstriche an die Glattheit der Kurve machen (<a href="Differentiationsklasse" title="Differentiationsklasse">Differentiationsklasse</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{0}}">

<msup>

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</msup>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c14274cad45f7c22b662e7a4e56b1db052883d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{0}}" loading="lazy"></span> oder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{1}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{1}}" loading="lazy"></span> statt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{2}}">

<msup>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fd6a5946b7e916352b0afc557f992328bac85e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{2}}" loading="lazy"></span>). Gelegentlich wird daher auch nur die Konvexität gefordert.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Dies hat jedoch den Nachteil, dass die Definition dann auch Figuren umfasst, die man normalerweise kaum als „eiförmig“ empfindet wie zum Beispiel konvexe <a href="Polygon" title="Polygon">Polygone</a>.

</p><p>Ein Oval im Sinne der obigen Definition besitzt die folgenden Eigenschaften:

</p>

<ul><li>Ein Oval ist eine <a href="Jordan-Kurve" title="Jordan-Kurve">Jordan-Kurve</a>, d. h. es besitzt keine Schlingen oder Schlaufen.</li>

<li>Die orientierte <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> eines Ovals besitzt keinen <a href="Vorzeichenwechsel" title="Vorzeichenwechsel">Vorzeichenwechsel</a>, d. h. je nach Durchlaufsinn ist die orientierte Krümmung für jeden Punkt des Ovals entweder nichtnegativ oder nichtpositiv. Anschaulich bedeutet dies, dass es keine Wendungen oder Einbuchtungen besitzt. Man kann es nur in einer reinen Linkskurve bzw. Rechtskurve durchlaufen.</li>

<li>Das Innere eines Ovals ist eine konvexe Menge, und das Oval bildet deren Rand.</li>

<li>Für Ovale gilt der <a href="Vierscheitelsatz" title="Vierscheitelsatz">Vierscheitelsatz</a>, d. h. die Krümmung eines Ovals besitzt mindestens vier Extremstellen.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>Besitzt ein Punkt des Ovals eine <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a>, so befindet sich das gesamte Oval auf einer Seite der Tangente.</li>

<li>Verlangt man zusätzlich, dass die Krümmung des Ovals auf keinem Abschnitt verschwindet, das heißt, die Krümmung nimmt höchstens in isolierten Punkten den Wert Null an, dann existiert in jedem Punkt des Ovals die obige Tangente. Allgemeiner gilt dann für eine beliebige Gerade, dass sie mit dem Oval entweder keinen Punkt (<a href="Passante" title="Passante">Passante</a>), genau einen Punkt (Tangente) oder genau zwei Punkte (<a href="Sekante" title="Sekante">Sekante</a>) gemeinsam hat.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_und_Konstruktionen">Beispiele und Konstruktionen</h2></div>

<p>Ovale können mit völlig unterschiedlichen Verfahren konstruiert werden. Eine Reihe von Konstruktionsverfahren erhält man aus den verschiedenen Konstruktionsverfahren für Ellipsen, die man jeweils an einer geeigneten Stelle leicht modifiziert.

</p><p>Man kann eine Ellipse erzeugen, indem man einen Kegel mit einer Ebene schneidet (siehe <a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitte</a>). Verwendet man nun statt des Kegels bestimmte andere Rotationskörper, beispielsweise eine rotierte <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>, so erhält man bei einem Schnitt mit einer Ebene auch von Ellipsen verschiedene Ovale. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die konstanten Parameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> (Längen der Halbachsen) einer Ellipse in ihrer <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\cdot \cos(t),b\cdot \sin(t))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot \cos(t),b\cdot \sin(t))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea9384d1ae9b1ff738bee508a994d0d83ab8b6e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.693ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot \cos(t),b\cdot \sin(t))}" loading="lazy"></span> oder in ihrer algebraischen Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

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</mrow>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6aa55c90da259c96a7894fe6e7555d2428cdec3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:12.198ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}" loading="lazy"></span> durch Funktionen zu ersetzen.

</p><p>Man kann eine Ellipse als die Menge der Punkte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span> definieren, für die die Summe der Abstände zu den beiden <a href="Brennpunkt_(Ellipse)" class="mw-redirect" title="Brennpunkt (Ellipse)">Brennpunkten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}}">

<msub>

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</msub>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/100c7fbf174fe8b06eacc2a6b0bb2e1badd1c7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fd17e0779153d765b40ebef91533489b87b2e37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.549ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{2}}" loading="lazy"></span> konstant ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f722a6c3076f95dbf3b255cc5acbeec3807fec6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a\right)}" loading="lazy"></span>. Ersetzt man nun diese Summe der Abstände durch eine gewichtete Summe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(k_{1}\cdot |F_{1}P|+k_{2}\cdot |F_{2}P|=2a\right)}">

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(k_{1}\cdot |F_{1}P|+k_{2}\cdot |F_{2}P|=2a\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/008df1706889a3809aa6b8b0c1bb9bb5bc285d8a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(k_{1}\cdot |F_{1}P|+k_{2}\cdot |F_{2}P|=2a\right)}" loading="lazy"></span>, so bildet die Punktmenge ein Oval, das nur noch eine Symmetrieachse besitzt, auf der ein spitzes und ein stumpfes Ende liegen. Ein solches Oval wird auch als Kartesisches Oval bezeichnet.

</p><p>Das Konstruktionsverfahren von <a href="Philippe_de_La_Hire" title="Philippe de La Hire">de La Hire</a> erzeugt eine Ellipse mit Hilfe zweier <a href="Konzentrizit%C3%A4t#Konzentrische_Kreise" title="Konzentrizität">konzentrischer Kreise</a>. Verschiebt man nun den Mittelpunkt des äußeren Kreises ein wenig und behält sonst aber die restlichen Schritte des Konstruktionsverfahrens bei, dann erhält man ein (neues) Oval. Dieses besitzt eine Symmetrieachse, wenn man den Mittelpunkt des äußeren Kreises entlang der Ellipsenachsen verschiebt. Verschiebt man den Mittelpunkt außerhalb der Achsen, dann entsteht ein Oval ohne Symmetrieachsen.

</p>

<div class="gallerytext">Ellipse: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{1}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{1}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48bd0a1e86815231ab6dca7901aefb9a21e46417.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.372ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{1}}=1}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{1-0{,}2\cdot x}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f4719e0a98971cbf3c405731f6e5f093bb4afb2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.141ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {y^{2}}{1-0{,}2\cdot x}}=1}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Ellipse: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |F_{1}P|+|F_{2}P|=22{,}84\,}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |F_{1}P|+|F_{2}P|=22{,}84\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be19265ed1331f1e992ef5948ced9442afff87ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.798ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |F_{1}P|+|F_{2}P|=22{,}84\,}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |F_{1}P|+{\textbf {1.43}}\cdot |F_{2}P|=22{,}84}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11a335fa2558edf0570293ca0325179d5fc85e6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.843ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |F_{1}P|+{\textbf {1.43}}\cdot |F_{2}P|=22{,}84}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Konstruktion mit konzentrischen Kreisen</div>

</li>

<div class="gallerytext">Konstruktion mit exzentrischen Kreisen</div>

</li>

</ul>

<p>Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten beziehungsweise bestimmte Teilmengen von ihr lassen sich oft als Kurven in der Ebene auffassen. Bei einer geeigneten Gleichung erhält man dabei ein Oval. Wenn eine solche Lösungskurve kein Oval ist, dafür aber eine konvexe Schlaufe besitzt, so kann durch Hinzufügen eines Korrekturterms aus der Schlaufe ein Oval erzeugt werden.

</p>

<div class="gallerytext"><a href="Elliptische_Kurve" title="Elliptische Kurve">Elliptische Kurve</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{2}=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{2}=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1044be3ea59906be8c359b7ba6cb98b086dd920.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.097ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y^{2}=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Superellipse" title="Superellipse">Lamésches Oval</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {x}{2}}\right)^{4}+\left({\frac {y}{1}}\right)^{4}=1}">

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {x}{2}}\right)^{4}+\left({\frac {y}{1}}\right)^{4}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf26c25f7f85badd038b1c13973cd3cd23173c70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.925ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {x}{2}}\right)^{4}+\left({\frac {y}{1}}\right)^{4}=1}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Lemniskate" title="Lemniskate">Lemniskate</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0\,}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/168c73a50d683eb9d8bce782e20971850054aef1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.039ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0\,}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Cassinische_Kurve" title="Cassinische Kurve">Cassinische Kurve</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})+{\textbf {0,01}}=0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})+{\textbf {0,01}}=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b952c96bce3dc8cfd2d5c74c93eb9a3dc10b7096.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.245ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})+{\textbf {0,01}}=0}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Szegö-Kurve: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=e^{2\cdot x-2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}=e^{2\cdot x-2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1315218c23de8acc4fdf986fc010a7a00baedbe4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.173ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}=e^{2\cdot x-2}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\textbf {0,02}}=e^{2\cdot x-2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6275661ab3c9db2faf0a9482f8cd4fba9f1990a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.766ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\textbf {0,02}}=e^{2\cdot x-2}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Kartesisches_Blatt" title="Kartesisches Blatt">Kartesisches Blatt</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3\cdot x\cdot y}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3\cdot x\cdot y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9358b75cc271b91bd69c48813d557bd543a35d84.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.543ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3\cdot x\cdot y}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}+y^{3}+{\textbf {0,06}}=3\cdot x\cdot y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ed96accfcd3190fd2cbbd485763d69f8ea811bb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.136ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{3}+y^{3}+{\textbf {0,06}}=3\cdot x\cdot y}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ovale_aus_Kreisbögen_und_Geraden"><span id="Ovale_aus_Kreisb.C3.B6gen_und_Geraden"></span>Ovale aus Kreisbögen und Geraden</h2></div>

<p>Ovale lassen sich auch aus <a href="Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbögen</a> und <a href="Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Geradenstücken</a> zusammensetzen. Allerdings besitzen solche Ovale eine geringere Glattheit als in der obigen Definition gefordert, da sie lediglich in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd24bae0d7570018e828e19851902c09c618af91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.852ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle C^{1}}" loading="lazy"></span> liegen. Die <a href="Kr%C3%BCmmung" title="Krümmung">Krümmung</a> ist auf den Teilabschnitten konstant und an den Nahtstellen existiert keine gemeinsame Krümmung, sondern lediglich eine gemeinsame <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a>. Bestehen solche Ovale lediglich aus Kreisbögen und besitzen genau eine Symmetrieachse, so spricht man auch von <a href="Euklidisches_Ei" title="Euklidisches Ei">euklidischen Eiern</a>. Ein Beispiel hierfür ist das <a href="Moss-Ei" title="Moss-Ei">Moss-Ei</a>.

</p>

</td>

</td>

</td>

</td></tr>

<tr>

<td colspan="4">Ovale zusammengesetzt aus Kreisbögen und Geradenstücken

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ovale_in_Natur,_Technik_und_Kultur"><span id="Ovale_in_Natur.2C_Technik_und_Kultur"></span>Ovale in Natur, Technik und Kultur</h2></div>

<p>Für Beispiele ovaler Grundrisse in der Architektur siehe:

</p>

<ul><li>Kategorie:Ovalkirche</li>

<li><a href="Fort_Boyard" title="Fort Boyard">Fort Boyard</a></li>

<li><a href="Skulpturenhalle_Neuss" title="Skulpturenhalle Neuss">Skulpturenhalle Neuss</a></li>

<li><a href="Modellbau_zu_Malsch" title="Modellbau zu Malsch">Modellbau zu Malsch</a></li>

<li><a href="JaBee_Tower" title="JaBee Tower">JaBee Tower</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>A.B. Ivanov: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Oval</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyclopediaofmath.org/wiki/Oval">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Oval&rft.atitle=Oval&rft.au=A.B.+Ivanov&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </span></li>

<li>Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: <i>Elementare Differentialgeometrie mit Maple</i>. Vieweg+Teubner-Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=RUhtG1jZTekC&pg=PA43#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</li>

<li>Volkmar Wünsch: <i>Differentialgeometrie: Kurven und Flächen</i>. Vieweg+Teubner-Verlag 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=AQ6AFeKyILMC&pg=PA92#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</li>

<li>John A. Adam: <i>A Mathematical Nature Walk</i>. Princeton University Press, 2009, ISBN 0-691-12895-2, S. 124–136.</li>

<li><i>Oval</i>. In: Charles Hutton: <i>A Philosophical and Mathematical Dictionary</i>. Band 2. 1815, S. 141; <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/bub_gb_lsdJAAAAMAAJ/page/141/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>.</li>

<li><a href="Arnold_Emch" title="Arnold Emch">Arnold Emch</a>: <i>Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane</i>. In: <i>American Journal of Mathematics</i>, Oktober, 1913, Band 35, Nr. 4, S. 407–41 (<a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2370404">2370404</a>).</li>

<li>N. Hansen Ball: <i>On Ovals</i>. In: <i>The American Mathematical Monthly</i>, August–September 1930, Band 37, Nr. 7, S. 348–353 (<a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/2299271">2299271</a>).</li>

<li><a href="Alexander_J._Hahn" title="Alexander J. Hahn">Alexander J. Hahn</a>: <i>Mathematical excursions to the world’s great buildings</i>. Princeton University Press, 2012, S. 36–39, 169–171.</li>

<li>Angelo Alessandro Mazzotti: <i>All Sides to an Oval</i>. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-39374-2.</li>

<li>Robert A. Dixon: <i>Mathographics</i>. Dover, 1991, ISBN 9780486266398, S. 3–12, 76, 159, 161.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Oval_(math)?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Ovale</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Oval.html"><i>Oval</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li>

<li>Norbert Harthun, Ines Rennert: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.pks.or.at/Resources/Ei_-Kurve_plus.pdf"><i>Die Ei-Kurve als Schnitt des Hyperbolischen Kegels</i></a> (PDF; 158 kB)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm"><i>Egg curves</i></a> auf mathematische-basteleien.de (englisch)</li>

<li>Paul L. Rosin: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://users.cs.cf.ac.uk/Paul.Rosin/resources/papers/ovalISAMA.pdf"><i>On the Construction of Ovals</i>.</a> (PDF; 395 kB) users.cs.cf.ac.uk (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070206094010/http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/"><i>Egg Math</i></a> – Sammlung von webbasierten Unterrichtseinheiten zur Mathematik rundum das Ei (englisch, archiviert)</li>

<li>André Heck: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://staff.fnwi.uva.nl/a.j.p.heck/research/eggmath/index.html"><i>Mathematical Brooding over an Egg</i></a>. In <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.maa.org/press/periodicals/loci/about-loci"><i>Loci</i>.</a> Online-Journal der <a href="Mathematical_Association_of_America" title="Mathematical Association of America">MAA</a>, August 2008.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Heinrich Behnke: <i>Fundamentals of Mathematics</i>. MIT Press 1974, ISBN 0-262-02069-6, S. 572 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=jZfqK2sjI64C&pg=PA572#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-eom-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-eom_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Oval"><i>Oval</i></a> in der <a href="Encyclopaedia_of_Mathematics" title="Encyclopaedia of Mathematics">Encyclopaedia of Mathematics</a> (englisch)</span>

</li>

<li id="cite_note-maple-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maple_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel: <i>Elementare Differentialgeometrie mit Maple</i>. Vieweg+Teubner Verlag, 1998, ISBN 3-528-06991-0, S. 43 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=RUhtG1jZTekC&pg=PA43#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-diffgeo-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-diffgeo_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Volkmar Wünsch: <i>Differentialgeometrie: Kurven und Flächen</i>. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 3-8154-2095-4, S. 92 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=AQ6AFeKyILMC&pg=PA92#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Catherine Cavagnaro, William T. Haight: <i>Dictionary of Classical and Theoretical Mathematics</i>. CRC Press, 2001, ISBN 1-58488-050-3, S. 88 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=btVgv8WveyIC&pg=PA88#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Robert Clarke James, Glenn James: <i>Math Dictionary</i>. Springer, 1992, ISBN 0-412-99041-5, S. 300 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA300#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Ian R. Porteous: <i>Geometric Differentiation</i>. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-00264-8, S. 36 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA36#v=onepage">Auszug</a> in der Google-Buchsuche)</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4194780-0">4194780-0</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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